Sea B =(e1, e2) una base del espacio vectorial R². Comprueba que B' = (u1= e1 + e2, u2=e1-e2) es también base de R². En caso afirmativo, encuentra las coordenadas del vector v en B', sabiendo que v=(2, - 3) en base B

En mi clase anterior de mates discretas y álgebra pregunté una duda muy parecida. Me dijo que tenias que sacar las coordenadas de cada vector de la base prima (1 1) y (1-1) "(puestas en forma de coordenada en base canónica)". Una vez hecho esto ya tendrias los vectores de B' y ya es ver si forman base, como siempre(ver si son L.I. y si forma un sistema generador). En caso de que B' forme una base en R 2 ,solo hay que encontrar las coordenadas(2,-3) con la ecuación paramétrica que se te crea. Espero haberte aclarado aunque me explico fatal:)

Como B es una base se puede comprobar que B' es base viendo que u_1, u_2 son vectores linealmente independientes respecto de la base B. Esto se ve viendo el determinante de la matriz formada las columnas (1, 1) y (1, -1), que son las coordenadas de u_1 y u_2 respecto la base B, es distinto de 0. Saldrá distintos de 0 y, en este caso B' es base y todo vector se puede expresar en dicha base. Como v=(2, - 3) está en base B, se expresa como v = 2 e_1 - 3 e_2. Como B' es base se puede expresar como a_1 u_1 + a_2 u_2 siendo a_1, a_2 los números buscados. Para encontrarlos basta sustituir u_1 = e_1 + e_2, u_2 = e1-e2. Ahora v = 2 e_1 - 3 e_2 = a_1 (e_1 + e_2) + a_2 (e_1 - e_2) = = (a_1+a_2) e_1 + (a_1 - a_2) e_2 Luego 2 = a_1 + a_2, -3 = a_1-a_2. Basta resolver este sistema lineal para encontrar la solución. Como verás la matriz es la misma que la que calculaste en el primer paso. Esto tiene sentido porque este sistema lineal tiene solución única si y solo sí el determinante es distinto de 0, y esto es equivalente a que u_1 y u_2 sean base en R². En un principio puedes mecánicamente encontrar la solución poniendo la matriz anterior y resolviendo el sistema. La justificación de por qué funciona y por qué es así es esta.