¿Por qué el vacío y el espacio son los únicos abiertos y cerrados en un espacio topologico?

Hola Oscar, cómo estás? Te recomiendo repasar el concepto de bola abierta y bola cerrada en el espacio topologico. Te conviene, además, evaluar como es la frontera de cada conjunto y su complemento. Espero que mi respuesta te ayude.

Un espacio topologico es un par ´ (X, τ ), donde X es un conjunto, y τ es una familia de subconjuntos de X que verifica las siguientes condiciones (1) X ∈ τ y ∅ ∈ τ . (2) Dada una familia {Ai ∈ τ, i ∈ I} de elementos de τ , su union´ ∪i∈IAi ∈ τ tambien est ´ a´ en τ . (3) Si A1, A2 ∈ τ , entonces A1 ∩ A2 ∈ τ (la interseccion de dos elementos de la familia ´ τ tambien es un elemento de la familia) ´ Diremos entonces, que la familia τ es una topolog´ıa sobre X, y a sus elementos les llamaremos conjuntos abiertos de (X, τ ). De la condicion (2) se deduce, por inducci ´ on, que la intersecci ´ on de una familia finita de conjuntos ´ abiertos sigue siendo un conjunto abierto en (X, τ ).

porque no hay nada.

En topología no siempre es verdad que el vacio y el espacio sean los unicos abiertos y cerrrados, a estos espacios se les llama conexos. En el caso de analísis se estudian los reales y este espacio es conexo.

Porque son los unicos que cumplen la definición de ambas, ojo que la definicion. Vacio es cerrado: si tiene puntos de acumulación, entonces los contiene, vacio no tiene nada, osea Falso implica _____ =Verdadero, es una definicion muy rustica pero anda, ahora el complemento de vacio Vacio complemento = Espacio total osea es abierto pues es el complemento de un cerrado(el vacio), ahora bien espacio total es abierto porque es un elemento de la topologia relativa a sí misma, es ver la definicion de espacio topologico como X y la topologia digamos X también, y luego haces lo mismo con el vacío y tb da que es abierto por la misma idea de que cumple las definiciones vaciamente, esto es Falso implica ____= verdadero, luego si vacio es abierto, su complemento es cerrado