Determine el rectángulo de mayor área que se puede inscribir en la elipse de la ecuación: 2x^2+y^2=4

Hola Lucia, supongo que si haces esta pregunta es porque estas en la universidad y ya viste derivadas. En este caso tienes que despejas "y" para dejarla como función de "x" f(x), con esto podremos generar la función que queremos maximiza que es la función area, el area de un rectángulo sera y*x . De aquí remplazamos "y" , luego nos va a quedar x*f(x), esta será nuestra nueva funcion que tendremos que dereivar y maximizar.

La respuesta me dio raiz de 3/2

Hola lucía , espero poder ayudarte con mi explicación: Es un problema de optimización , lo primero que debes entender es que es una elipse con centro en (0,0) pues la ecuacion general de la elipse es ( (x-h)^2 )/(a^2)+ ((y-k)^2 )/(b^2)=1 , en tu caso particular h y k son cero , y el centro de esa elipse es C(h,K) en un plano cartesiano, los dibujas esa elipse con centro 0,0 y la ecuación que tienes , sabes que el área de un rectángulo es base por altura , entonces al dibujar el rectángulo dentro de la elipse los cuatro puntos en donde se interceptan osea los ángulos del rectángulo tiene coordenadas x,y , en el cuadrante superior derecho, quiere decir que el área de ese rectángulo A=2x2y es decir A=4xy, de la ecuación de tu ejercicio, despeja x ó y , como prefieras, yo voy a despejar Y = raíz(4-2x^2) esa Y se pone en la ecuación del Área A= 4x.(raíz(4-2x^2) ) , tenemos así el área en función de una variable x , la condición del máximo e que la primera derivada sea igual a cero osea que A'=0, la derivada de la función A es: A'= - ((16x^2-16)/(raiz(4-x^2))) cuando esa función sea igual a cero es cuando el área del rectángulo dentro de esa elipse es mayor. resolvemos entonces esa ecuación igualada a cero: - ((16x^2-16)/(raiz(4-x^2))) =0 de acá obtenemos x=2/raiz (2) y = 1 A= 4(2/raiz(2). 1)= 4.raiz(2) el area del rectangulo de mayor area dentro de esa elipse es 4por raiz de 2.