Demuestra que S=(1+x², x+x², 1+x²) es una base de P². Encuentra las coordenadas de P(x) = 1+x+x² en esta base

Para comprobar si es base, lo que tienes que verificar es que sea tanto Linealmente independiente como sistema de generadores. Estamos en P², por lo que su base tendrá dos coordenadas. S=(1+x², x+x², 1+x²), pero quitamos la tercera coordenada por ser igual a la primera: S=(1+x², x+x²). Y es esto lo que debe ser Linealmente Independiente. Si a la segunda coordenada le restas la primera (Operaciones elementales), te quedaría: S=(1+x², x-1), y ya sería linealmente independiente. Por el Teorema de la Base, sabemos que si tenemos un vector L.I de dos coordenadas en P², entonces también es sistema de generadores y por tanto base. Todo esto viene bien saberlo, pero como te pide demostrar, es más rápido ver que cualquier vector de P² se puede escribir como combinación lineal de S, y que esta descomposición es única.

Ruth, para saber eso deberías contratar a un profesor varias horas de clase.