¿Cuántos tipos de operaciones matemáticas hay?

Hola. En realidad, no hay forma de responderte, pues depende de la definición de operación que se utilice. Para explicarte más a profundidad, te hablaré sobre las operaciones binarias. Las operaciones binarias son una función f:AxA->A, donde A es un conjunto no vacío. Las operaciones binarias más populares son la suma y el producto de dos números reales, pero en Teoría de Grupos, en el área de Anillos y campos, y en el Álgebra en general, las operaciones binarias pueden parecer muy distintas. Por ejemplo, en las matrices cuadradas de tamaño n, hay operaciones (binarias) de suma y producto, pero se definen de manera distinta utilizando los índices de las entradas, mientras que en el grupo de permutaciones de n elementos, es usual que se defina la operación binaria del grupo como la composición de funciones biyectivas cuyo dominio y codominio son los números del 1 al n... En resumen, hay una infinidad de operaciones matemáticas, pero el número de operaciones, sus propiedades, los elementos sobre los que actúan, etc, están determinados por el contexto, el área específica de las matemáticas, etc...

La respuesta de Alexis es muy completa, basado en dicha respuesta depende de tu conjunto A y siendo estrictos con la necesidad de "cantidad" en tu pregunta, responder adecuadamente deberíamos ir a determinar el número de elementos de tu conjunto A y luego intentar determinar TODAS las posibles definiciones de funciones f:AxA->A que esto no es para nada trivial y requiere de un buen manejo de teoría de conjuntos, en pocas palabras, es una gran pregunta, con una respuesta que requiere mucho trabajo e imposible de responder totalmente aquí. Para ir un poco más allá, te recomiendo el libro "introduction to set theory - karel hrbacek thomas jech" y como datos históricos te recomiendo buscar la historia de Cantor y un poco acerca de axioma de elección.

Cuatro, suma, resta, multiplicación y división. Saludos

Hola Julio, dependiendo del campo de estudio vas a tener distintos tipos de operaciones, pero en general Las operaciones matemáticas básicas son cuatro: la suma, la resta, la multiplicación y la división ¹. Algunos autores consideran adicionalmente tres operaciones más: potenciación, radicación y logaritmo¹.