Como demostrar que una aplicación abierta conserva interiores

Para demostrar que una aplicación abierta conserva interiores, debemos demostrar que si f es una aplicación abierta, entonces f(int(A)) está contenido en int(f(A)), y si f(int(A)) está contenido en int(f(A)), entonces f es una aplicación abierta. Para demostrar que f es una aplicación abierta y que f(int(A)) está contenido en int(f(A)), supongamos que U es un subconjunto abierto de X. Entonces, por definición de una aplicación abierta, f(U) es un subconjunto abierto de Y. Sea x un punto en int(A). Por definición, existe un conjunto abierto V de X tal que x pertenece a V y V está contenido en A. Como f es una aplicación abierta, f(V) es un conjunto abierto de Y. Además, como f(V) está contenido en f(A), f(x) debe estar en int(f(A)). Por lo tanto, f(int(A)) está contenido en int(f(A)). Para demostrar que f es una aplicación abierta si f(int(A)) está contenido en int(f(A)), supongamos que U es un subconjunto abierto de X. Queremos demostrar que f(U) es un subconjunto abierto de Y. Sea y un punto en f(U). Por definición, existe un punto x en U tal que f(x) = y. Como U es un subconjunto abierto de X, existe un conjunto abierto V de X tal que x pertenece a V y V está contenido en U. Entonces, f(V) es un subconjunto de f(U) que contiene y. Como f(int(V)) está contenido en int(f(V)), tenemos que f(int(V)) está contenido en f(U). Como y es un punto arbitrario de f(U), esto demuestra que f(U) es un conjunto abierto de Y. Por lo tanto, f es una aplicación abierta. En conclusión, f es una aplicación abierta si y solo si f(int(A)) está contenido en int(f(A)).